Помогите пожалуйста решить! . . В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD перпендикулярны.

Для начала, заметим, что по условию задачи точки E и F являются серединными перпендикулярами к диагоналям AC и BD соответственно. Это означает, что AE = EC и AF = FD.

Также, поскольку диагонали AC и BD перпендикулярны, то углы BAC и BDA являются прямыми углами.

Теперь рассмотрим треугольники ABE и CDE. Поскольку AE = EC и углы BAE и CDE являются прямыми углами, то эти треугольники равны по стороне-углу-стороне (по теореме о равенстве прямоугольных треугольников).

Аналогично, рассмотрим треугольники ABF и DCF. Поскольку AF = FD и углы BAF и DCF являются прямыми углами, то эти треугольники также равны по стороне-углу-стороне.

Теперь, поскольку треугольники ABE и CDE равны, то у них равны и соответствующие углы. То есть, угол BAE равен углу CDE.

Аналогично, поскольку треугольники ABF и DCF равны, то у них равны и соответствующие углы. То есть, угол BAF равен углу DCF.

Таким образом, углы BAE и BAF равны углам CDE и DCF соответственно.

Теперь рассмотрим треугольник BIC. Поскольку углы BAE и BAF равны углам CDE и DCF соответственно, то углы BAE и BAF также равны углам BIC и BCI соответственно (по теореме о равных углах).

Таким образом, треугольник BIC является равнобедренным, так как у него два равных угла (BAE и BAF) и две равные стороны (BI и BC).

Из равнобедренности треугольника BIC следует, что BI = BC.

Также, поскольку AE = EC и AF = FD, то AE + EF + FD = EC + EF + FD, что равносильно AE + AF = EC + FD.

Но AE + AF = AD, так как точки расположены в порядке А-F-E-D.

Аналогично, EC + FD = BC, так как точки расположены в порядке А-F-E-D.

Таким образом, AD = BC.

Из равенства AD = BC и равенства BI = BC следует, что AD = BI.

Таким образом, треугольники ABD и BIC равны по стороне-стороне-стороне (у них равны две стороны и угол между ними).

Из равенства треугольников ABD и BIC следует, что у них равны и соответствующие углы. То есть, угол ABD равен углу BIC.

Но угол ABD является прямым углом, так как диагонали AC и BD перпендикулярны.

Таким образом, угол BIC также является прямым углом.

Из равенства углов BIC и BAF следует, что угол BAF также является прямым углом.

Таким образом, углы BAF и BIC являются прямыми углами.

Из этого следует, что точки B, F, I, C лежат на одной окружности с диаметром BC.

Таким образом, BFIC является выпуклым четырехугольником, в котором углы BAF и BIC являются прямыми углами и точки B, F, I, C лежат на одной окружности с диаметром BC.

Таким образом, мы доказали, что BFICE.