Задача: Дан треугольник ABC, в котором угол A равен 60 градусов. Найдите точку D на стороне AC такую, что треугольник ABD подобен треугольнику ABC.

Решение:

1. Поскольку треугольник ABD подобен треугольнику ABC, то соответствующие углы этих треугольников равны. Угол ABD равен углу ABC, который равен 60 градусов.
2. Так как угол ABD равен 60 градусов, то угол BDA равен 180 - 60 = 120 градусов.
3. Таким образом, угол BDA равен 120 градусов, а угол BAC равен 60 градусов.
4. Из пункта 3 следует, что угол BDA равен углу BAC, а значит, треугольники BDA и BAC подобны по двум углам.
5. Так как треугольники BDA и BAC подобны по двум углам, то они подобны в целом.
6. Значит, отношение длин сторон треугольников BDA и BAC равно отношению длин сторон треугольников ABC и BAC.
7. Пусть x - длина отрезка AD, тогда отношение длин сторон треугольников BDA и BAC равно x/(AC-x).
8. Отношение длин сторон треугольников ABC и BAC равно AC/BC.
9. Из пункта 6 следует, что x/(AC-x) = AC/BC.
10. Решим полученное уравнение относительно x:

    x/(AC-x) = AC/BC

    BCx = AC(AC-x)

    BCx = AC^2 - ACx

    BCx + ACx = AC^2

    x*(BC + AC) = AC^2

    x = AC^2 / (BC + AC)

Таким образом, точка D на стороне AC такая, что треугольник ABD подобен треугольнику ABC, находится на расстоянии AC^2 / (BC + AC) от вершины A.