Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в однородном поле тяжести..

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения импульса.

Пусть масса ракеты в момент времени t равна m, а ее скорость равна v. Тогда масса газовой струи, выброшенной ракетой за время dt, равна dm, а ее скорость равна u.

Закон сохранения импульса можно записать следующим образом:

(m + dm)(v + dv) + dm(u - u) = m(v + dv) + dm(u - u) - m(g dt),

где m(g dt) - изменение импульса ракеты под действием силы тяжести.

Раскроем скобки и упростим выражение:

mv + m dv + dm v + dm dv + dm u - dm u = mv + m dv - m g dt.

Упростим выражение, учитывая, что dm << m и dv << v:

m dv + dm v = - m g dt.

Разделим обе части уравнения на dt и учитывая, что dm/dt = -dm/dm0 * m0/t, получим:

m dv/dt + v dm/dt = - m g.

Заменим dm/dt на -dm/dm0 * m0/t и разделим обе части уравнения на m:

dv/dt + v/t = - g.

Разделим обе части уравнения на v и проинтегрируем:

∫(dv/v) + ∫(dt/t) = - ∫(g dt).

ln(v) + ln(t) = - g t + C,

где C - постоянная интегрирования.

Применяя свойство логарифма ln(a) + ln(b) = ln(ab), получим:

ln(vt) = - g t + C.

Возведем обе части уравнения в экспоненту:

vt = e^(-g t + C).

Так как e^C - произвольная постоянная, заменим ее на A:

vt = A e^(-g t).

Изначально ракета имеет нулевую начальную скорость, поэтому при t = 0, v = 0:

0 = A e^0,

A = 0.

Таким образом, получаем окончательное выражение для скорости ракеты в зависимости от ее массы m и времени подъема t:

v = u ln(m0/m) - g t.