Оценка и пример. На каждой из клеток доски размером 2023 × 2023 находится муравей.

Докажем данное утверждение по индукции.

База индукции: Для доски размером 1x1 очевидно, что останется 0 пустых клеток.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для доски размером n x n, где n >= 1. Докажем, что оно верно и для доски размером (n+1) x (n+1).

Рассмотрим доску размером (n+1) x (n+1). Пусть в каждой клетке находится муравей. ЧеловекМуравей командует каждому муравью перейти на соседнюю по диагонали клетку.

Рассмотрим два случая:

1) Если муравей из клетки (n+1, n+1) переходит на соседнюю клетку, то останется (n+1) x n пустых клеток. По предположению индукции, на доске размером n x n останется не меньше n пустых клеток. Добавление новой строки и столбца не изменяет это количество, поэтому на доске размером (n+1) x n останется не меньше n пустых клеток. Таким образом, на доске размером (n+1) x (n+1) останется не меньше (n+1) пустых клеток.

2) Если муравей из клетки (n+1, n+1) не переходит на соседнюю клетку, то останется (n+1) x (n+1) пустых клеток. В этом случае утверждение верно.

Таким образом, в обоих случаях утверждение верно для доски размером (n+1) x (n+1).

Итак, по индукции мы доказали, что на доске размером 2023 x 2023 останется не меньше 2023 пустых клеток.